Determine a integral \( \int_0^{\pi} \cos^2(x) \, dx \). a) \( \frac{\pi}{2} \) b) \( \frac{\pi}{4} \) c) \( \frac{\pi}{3} \) d) \( \frac{\pi}{6} \)

Para resolver a integral \( \int_0^{\pi} \cos^2(x) \, dx \), podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona o cosseno ao seno: \[ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \] Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\pi} \cos^2(x) \, dx = \int_0^{\pi} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx \] Isso pode ser separado em duas integrais: \[ = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} 1 \, dx + \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \cos(2x) \, dx \] Calculando a primeira integral: \[ \int_0^{\pi} 1 \, dx = \pi \] E a segunda integral: \[ \int_0^{\pi} \cos(2x) \, dx = \left[ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{\sin(2\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = 0 \] Portanto, a integral se torna: \[ = \frac{1}{2} \cdot \pi + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\pi}{2} \] Assim, a resposta correta é: a) \( \frac{\pi}{2} \)