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Calcule a derivada de \(f(x) = x^3 \ln(x)\).

A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\)

B) \(3x^2 \ln(x) + 3x\)

C) \(x^3 \frac{1}{x}\)

D) \(3x^2 \ln(x) - x^2\)

A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\)
B) \(3x^2 \ln(x) + 3x\)
C) \(x^3 \frac{1}{x}\)
D) \(3x^2 \ln(x) - x^2\)
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Desafios para Aprender

há 2 anos

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há 2 anos

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há 2 anos

Para calcular a derivada da função \(f(x) = x^3 \ln(x)\), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \(u = x^3\) e \(u' = 3x^2\) - \(v = \ln(x)\) e \(v' = \frac{1}{x}\) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (3x^2)(\ln(x)) + (x^3)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando a segunda parte: \[ f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) - Correto! B) \(3x^2 \ln(x) + 3x\) - Incorreto. C) \(x^3 \frac{1}{x}\) - Incorreto, isso simplifica para \(x^2\), mas não é a derivada. D) \(3x^2 \ln(x) - x^2\) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\).

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O que é o valor da série infinita:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
\]

A) \(\frac{\pi^2}{6}\)

B) 1

C) 2

D) \(\frac{\pi}{4}\)

A) \(\frac{\pi^2}{6}\)
B) 1
C) 2
D) \(\frac{\pi}{4}\)

8. Determine a segunda derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \).
A) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)
B) \( -\frac{2}{(x^2 + 1)^2} \)
C) \( \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \)
D) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \)
C) \( \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \)

Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 + 1}\).

a) 1
b) 0
c) \frac{3}{2}
d) \infty

Encontre o valor de:

\[
\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx
\]

A) \(\frac{\pi}{2}\)

B) \(\frac{\pi}{4}\)

C) \(\frac{\pi}{3}\)

D) \(\frac{\pi}{6}\)

A) \(\frac{\pi}{2}\)
B) \(\frac{\pi}{4}\)
C) \(\frac{\pi}{3}\)
D) \(\frac{\pi}{6}\)

Calcule o limite:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
\]

A) 1

B) 0

C) 2

D) \(\infty\)

A) 1
B) 0
C) 2
D) \(\infty\)

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