Qual é a raiz cúbica de z = -8? a) -2 b) 2 c) -2, 2e^{\frac{2\pi i}{3}}, 2e^{\frac{4\pi i}{3}} d) 2, -2, 0

Para encontrar a raiz cúbica de \( z = -8 \), precisamos considerar que as raízes cúbicas de um número complexo podem ser expressas na forma polar. Primeiro, sabemos que \( -8 \) pode ser escrito como \( 8 \text{cis}(\pi) \), onde "cis" representa \( \cos + i\sin \). As raízes cúbicas de um número complexo são dadas por: \[ \sqrt[3]{r} \text{cis}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \] onde \( r \) é o módulo, \( \theta \) é o argumento, \( n \) é o índice da raiz (neste caso, 3), e \( k = 0, 1, 2 \). Para \( z = -8 \): - Módulo \( r = 8 \) - Argumento \( \theta = \pi \) Calculando as raízes cúbicas: 1. Para \( k = 0 \): \[ \sqrt[3]{8} \text{cis}\left(\frac{\pi + 2(0)\pi}{3}\right) = 2 \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3} \] 2. Para \( k = 1 \): \[ \sqrt[3]{8} \text{cis}\left(\frac{\pi + 2(1)\pi}{3}\right) = 2 \text{cis}\left(\pi\right) = -2 \] 3. Para \( k = 2 \): \[ \sqrt[3]{8} \text{cis}\left(\frac{\pi + 2(2)\pi}{3}\right) = 2 \text{cis}\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - i\sqrt{3} \] Assim, as raízes cúbicas de \( -8 \) são: - \( -2 \) - \( 2e^{\frac{2\pi i}{3}} \) - \( 2e^{\frac{4\pi i}{3}} \) Portanto, a alternativa correta é: c) -2, 2e^{\frac{2\pi i}{3}}, 2e^{\frac{4\pi i}{3}}.