Para encontrar a derivada da função \(f(x) = e^{2x} \sin(x)\), utilizamos a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\) é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Neste caso, temos: - \(u(x) = e^{2x}\) e \(v(x) = \sin(x)\). Calculando as derivadas: - \(u'(x) = 2e^{2x}\) (usando a regra da cadeia). - \(v'(x) = \cos(x)\). Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2e^{2x})\sin(x) + (e^{2x})(\cos(x)) \] Isso simplifica para: \[ f'(x) = 2e^{2x}\sin(x) + e^{2x}\cos(x) \] Agora, analisando as alternativas: a) \(e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x))\) - Não é a forma correta. b) \(2e^{2x}\sin(x) + e^{2x}\cos(x)\) - Esta é a forma correta. c) \(e^{2x}(2\cos(x) - \sin(x))\) - Não é a forma correta. d) \(e^{2x}(2\sin(x) - \cos(x))\) - Não é a forma correta. Portanto, a alternativa correta é: b) \(2e^{2x}\sin(x) + e^{2x}\cos(x)\).