Investigue a continuidade nos pontos indicados, conforme a definição de função contínua no ponto. sin(x) se x 0 a) f(x) = em x = 0 0, se x =0 (Sugestão: Em Cálculo I vimos na aula 8, Proposição 1. que lim0 sin() = 1)

Question

Investigue a continuidade nos pontos indicados, conforme a definição de função contínua no ponto. sin(x) se x 0 a) f(x) = em x = 0 0, se x =0 (Suge...

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Para investigar a continuidade da função $ f(x) $ definida como:

$$
f(x) = 
\begin{cases} 
\sin(x) & \text{se } x \neq 0 \
0 & \text{se } x = 0 
\end{cases}
$$

no ponto $ x = 0 $, precisamos verificar três condições:

1. **$ f(0) $ está definido**: Aqui, $ f(0) = 0 $.

2. **Limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0**: Precisamos calcular $ \lim_{x \to 0} f(x) $. Como $ f(x) = \sin(x) $ para $ x \neq 0 $, temos:

$$
\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \sin(x) = 0
$$

3. **Limite igual ao valor da função no ponto**: Precisamos verificar se $ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) $. Temos:

$$
\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \quad \text{e} \quad f(0) = 0
$$

Como as três condições são satisfeitas, podemos concluir que a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 0 $.

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