Qual é o valor de z que satisfaz z^3 = -8? a) 2, -2, -4 b) 2, 2i, -2 c) -2, -2 + 2i d) -2, 2 - 2i

Para resolver a equação \( z^3 = -8 \), podemos reescrever -8 na forma polar. O número -8 pode ser expresso como \( 8(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \). Agora, aplicamos a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes cúbicas: 1. A magnitude é \( \sqrt[3]{8} = 2 \). 2. O ângulo é \( \frac{\pi + 2k\pi}{3} \), onde \( k = 0, 1, 2 \). Calculando para cada valor de \( k \): - Para \( k = 0 \): \[ z_0 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + i\sqrt{3} \] - Para \( k = 1 \): \[ z_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -1 + 0i \right) = -2 \] - Para \( k = 2 \): \[ z_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 - i\sqrt{3} \] Assim, as raízes são \( -2 \), \( 1 + i\sqrt{3} \) e \( -1 - i\sqrt{3} \). Analisando as alternativas: a) 2, -2, -4 - Não está correta. b) 2, 2i, -2 - Não está correta. c) -2, -2 + 2i - Não está correta. d) -2, 2 - 2i - Não está correta. A única raiz real que satisfaz a equação é \( -2 \). Portanto, a resposta correta é: -2. Entretanto, nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente às raízes encontradas. Você pode precisar revisar as opções ou a formulação da pergunta.