Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)} \). a) \( \frac{2}{3} \) b) \( 0 \) c) \( 1 \) d) \( \infty \)

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)} \), podemos usar a propriedade do limite que diz que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{kx} = 1 \) para qualquer constante \( k \). Podemos reescrever o limite da seguinte forma: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2x}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin(3x)} \] Agora, aplicando a propriedade mencionada: 1. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1 \) 2. \( \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin(3x)} = 1 \) Portanto, o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)} = 1 \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \] Assim, a resposta correta é a) \( \frac{2}{3} \).