Calcule a integral \( \int_{0}^{1} (2x^2 + 3x + 1) \, dx \). a) \( 2 \) b) \( \frac{11}{6} \) c) \( \frac{5}{6} \) d) \( 1 \)

Para calcular a integral \( \int_{0}^{1} (2x^2 + 3x + 1) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 2x^2 + 3x + 1 \). 1. A antiderivada de \( 2x^2 \) é \( \frac{2}{3}x^3 \). 2. A antiderivada de \( 3x \) é \( \frac{3}{2}x^2 \). 3. A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \] Agora, vamos avaliar \( F(x) \) nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + (1) = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1 \] Convertendo \( \frac{3}{2} \) e \( 1 \) para ter o mesmo denominador (6): \[ F(1) = \frac{2}{3} + \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{19}{6} \] Agora, avaliamos \( F(0) \): \[ F(0) = 0 \] Portanto, a integral é: \[ \int_{0}^{1} (2x^2 + 3x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{19}{6} - 0 = \frac{19}{6} \] Parece que não há uma alternativa correta entre as opções dadas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi calculada corretamente.