Determine o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \). a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \) quando \( x \) se aproxima de 0. 1. Derivamos o numerador e o denominador: - Derivada do numerador \( \ln(1 + 2x) \) é \( \frac{2}{1 + 2x} \). - Derivada do denominador \( x \) é \( 1 \). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{1 + 2x} \] 3. Agora, substituímos \( x = 0 \): \[ \frac{2}{1 + 2(0)} = \frac{2}{1} = 2 \] Portanto, o limite é \( 2 \). A alternativa correta é: c) 2.