Qual é o valor do limite \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x) - \tan(3x)}{x}? A) 0 B) 1 C) -1 D) Não existe

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x) - \tan(3x)}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma inicial é indeterminada \( \frac{0}{0} \). Primeiro, derivamos o numerador e o denominador: 1. Derivada do numerador: \(\frac{d}{dx}[\tan(2x) - \tan(3x)] = 2\sec^2(2x) - 3\sec^2(3x)\) 2. Derivada do denominador: \(\frac{d}{dx}[x] = 1\) Agora aplicamos a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x) - \tan(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \left(2\sec^2(2x) - 3\sec^2(3x)\right) \] Substituindo \(x = 0\): \[ 2\sec^2(0) - 3\sec^2(0) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1 \] Portanto, o valor do limite é \(-1\). A alternativa correta é: C) -1.