Qual é o valor de z^3 se z = 1 + i? a) -2 + 2i b) 2√2 cis 3π/4 c) -2√2 + 2√2i d) -2 + i

Para encontrar o valor de \( z^3 \) onde \( z = 1 + i \), vamos primeiro calcular \( z^3 \). 1. Encontrar o módulo e o argumento de \( z \): - O módulo de \( z \) é \( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \). - O argumento de \( z \) é \( \tan^{-1}(1/1) = \frac{\pi}{4} \). 2. Representação polar de \( z \): - Podemos escrever \( z \) na forma polar: \( z = \sqrt{2} \text{cis} \frac{\pi}{4} \). 3. Calcular \( z^3 \): - Usando a fórmula de De Moivre: \( z^n = r^n \text{cis}(n\theta) \). - Portanto, \( z^3 = (\sqrt{2})^3 \text{cis}(3 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2} \text{cis} \frac{3\pi}{4} \). Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(-2 + 2i\) - Não corresponde ao resultado. b) \(2\sqrt{2} \text{cis} \frac{3\pi}{4}\) - Esta é a forma correta que encontramos. c) \(-2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i\) - Não corresponde ao resultado. d) \(-2 + i\) - Não corresponde ao resultado. Portanto, a alternativa correta é: b) \(2\sqrt{2} \text{cis} \frac{3\pi}{4}\).