Determine o valor de z^4 se z = √3 + i. a) -4 + 4i b) 16 cis π/6 c) 16 cis 2π/3 d) 16 cis π/4

Para determinar o valor de \( z^4 \) onde \( z = \sqrt{3} + i \), vamos primeiro encontrar o módulo e o argumento de \( z \). 1. Módulo de \( z \): \[ |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \] 2. Argumento de \( z \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} \] Assim, podemos escrever \( z \) na forma polar: \[ z = 2 \text{ cis } \frac{\pi}{6} \] 3. Calculando \( z^4 \): Usamos a propriedade das potências em forma polar: \[ z^n = r^n \text{ cis } (n\theta) \] Portanto: \[ z^4 = (2^4) \text{ cis } \left(4 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = 16 \text{ cis } \frac{2\pi}{3} \] Assim, a resposta correta é: c) \( 16 \text{ cis } \frac{2\pi}{3} \)