Qual é a forma de z = -5 + 12i em coordenadas polares? a) 13 e^{i arctan(-12/5)} b) 13 e^{i(3π/4)} c) 13 e^{i(5π/4)} d) 13 e^{i(7π/4)}

Para converter o número complexo \( z = -5 + 12i \) para coordenadas polares, precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Módulo: \[ |z| = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] 2. Argumento: O argumento é dado por \( \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \), onde \( x = -5 \) e \( y = 12 \). \[ \theta = \arctan\left(\frac{12}{-5}\right) \] Como \( x \) é negativo e \( y \) é positivo, o número está no segundo quadrante. Portanto, devemos adicionar \( \pi \) ao ângulo obtido: \[ \theta = \pi + \arctan\left(\frac{12}{-5}\right) = \pi - \arctan\left(\frac{12}{5}\right) \] O valor de \( \arctan\left(\frac{12}{5}\right) \) é aproximadamente \( 1.176 \) radianos, então: \[ \theta \approx \pi - 1.176 \approx 3.1416 - 1.176 \approx 1.965 \text{ radianos} \] Em frações de \( \pi \), isso é aproximadamente \( \frac{5\pi}{4} \). Portanto, a forma polar de \( z \) é: \[ z = 13 e^{i(5\pi/4)} \] A alternativa correta é: c) \( 13 e^{i(5\pi/4)} \).