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Problema 12: Calcule a integral \\int x e^{x^2} \, dx. a) rac{1}{2} e^{x^2} + C b) - rac{1}{2} e^{x^2} + C c) e^{x^2} + C

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Desafios Para o Conhecimento

há 2 anos

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ESTÁCIO

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há 2 anos

Para resolver a integral \(\int x e^{x^2} \, dx\), podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \(u = x^2\), o que implica que \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int x e^{x^2} \, dx = \int x e^u \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int e^u \, du \] A integral de \(e^u\) é \(e^u\), então: \[ \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C \] Voltando à variável original \(u = x^2\): \[ \frac{1}{2} e^{x^2} + C \] Portanto, a resposta correta é: a) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\)

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Problema 3: Calcule a derivada de f(x) = e^{2x} imes ext{cos}(x).

a) 2e^{2x} ext{cos}(x) - e^{2x} ext{sin}(x)
b) e^{2x} imes (- ext{sin}(x) + 2 ext{cos}(x))
c) 2e^{2x} ext{sin}(x) + e^{2x} ext{cos}(x)
d) e^{2x} imes (2 ext{cos}(x) - ext{sin}(x))

Problema 4: Determine a série de Taylor de f(x) = ext{ln}(1+x) em torno de x = 0 até o termo de x^4.

a) x - rac{x^2}{2} + rac{x^3}{3} - rac{x^4}{4}
b) x + rac{x^2}{2} + rac{x^3}{3} + rac{x^4}{4}
c) x - x^2 + x^3 - x^4
d) x - rac{x^2}{2} + rac{x^3}{3} + rac{x^4}{4}

Problema 5: Calcule a integral \\int (x^2 + 2x + 1)e^x \, dx.

a) (x^2 + 2x + 1)e^x + C
b) (x^2 + 2x)e^x + C
c) (x^2 + 2)e^x + C
d) (x^2 + 2x + 1)e^x - e^x + C

Problema 6: Qual é a solução da equação diferencial y' + 2y = e^{-x}?

a) y = Ce^{-2x} + rac{1}{3}e^{-x}
b) y = Ce^{-2x} + e^{-x}
c) y = Ce^{-2x} - e^{-x}
d) y = Ce^{-2x} + rac{1}{2}e^{-x}

7. **Problema 7**: Calcule o determinante da matriz: \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\).

a) -2
b) 2
c) 1
d) 0

Problema 8: Encontre o valor da integral \\int_0^{ ext{π}} ext{sin}^2(x) \, dx.

a) rac{ ext{π}}{2}
b) rac{ ext{π}}{4}
c) rac{ ext{π}}{3}
d) rac{ ext{π}}{6}

Problema 9: Determine a segunda derivada de f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.

a) 6x - 6
b) 6x - 3
c) 6x + 2
d) 3x^2 - 6

Problema 10: Calcule o limite \\lim_{x o ext{∞}} \\frac{2x^2 + 3x}{5x^2 + 4}.

a) rac{2}{5}
b) 0
c) 1
d) ext{∞}

Problema 11: Encontre a solução da equação y'' - 3y' + 2y = 0.

a) y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}
b) y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{x}
c) y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{3x}
d) y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x}

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