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a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{5}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Resposta correta**: b) \(\frac{5}{6}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[ x^3 - x^2 + x \right]_{0}^{1} = (1 - 1 + 1) - (0 - 0 + 0) = 1\). 
Portanto, \(\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{5}{6}\). 
 
3. **Problema 3**: Calcule a derivada de \(f(x) = e^{2x} \cdot \cos(x)\). 
 a) \(2e^{2x} \cos(x) - e^{2x} \sin(x)\) 
 b) \(e^{2x} \cdot (-\sin(x) + 2\cos(x))\) 
 c) \(2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x)\) 
 d) \(e^{2x} \cdot (2\cos(x) - \sin(x))\) 
 **Resposta correta**: a) \(2e^{2x} \cos(x) - e^{2x} \sin(x)\) 
 **Explicação**: Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = e^{2x}\) e \(v = 
\cos(x)\). Assim, \(u' = 2e^{2x}\) e \(v' = -\sin(x)\). 
 
4. **Problema 4**: Determine a série de Taylor de \(f(x) = \ln(1+x)\) em torno de \(x = 0\) até 
o termo de \(x^4\). 
 a) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\) 
 b) \(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}\) 
 c) \(x - x^2 + x^3 - x^4\) 
 d) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}\) 
 **Resposta correta**: a) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\) 
 **Explicação**: A série de Taylor de \(\ln(1+x)\) é dada por \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-
1)^{n-1} x^n}{n}\). Expandindo até \(x^4\) resulta na opção a. 
 
5. **Problema 5**: Calcule a integral \(\int (x^2 + 2x + 1)e^x \, dx\). 
 a) \((x^2 + 2x + 1)e^x + C\) 
 b) \((x^2 + 2x)e^x + C\) 
 c) \((x^2 + 2)e^x + C\) 
 d) \((x^2 + 2x + 1)e^x - e^x + C\) 
 **Resposta correta**: a) \((x^2 + 2x + 1)e^x + C\) 
 **Explicação**: Usamos a técnica de integração por partes, onde \(u = (x^2 + 2x + 1)\) e 
\(dv = e^x dx\). 
 
6. **Problema 6**: Qual é a solução da equação diferencial \(y' + 2y = e^{-x}\)? 
 a) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-x}\) 
 b) \(y = Ce^{-2x} + e^{-x}\) 
 c) \(y = Ce^{-2x} - e^{-x}\) 
 d) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2}e^{-x}\) 
 **Resposta correta**: a) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-x}\) 
 **Explicação**: A solução geral é encontrada usando o método do fator integrante, que 
resulta na forma dada. 
 
7. **Problema 7**: Calcule o determinante da matriz \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix}\). 
 a) -2 
 b) 2 
 c) 0 
 d) 1 
 **Resposta correta**: a) -2 
 **Explicação**: O determinante é calculado como \(ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\). 
 
8. **Problema 8**: Encontre o valor da integral \(\int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 c) \(\frac{\pi}{3}\) 
 d) \(\frac{\pi}{6}\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação**: Usamos a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\) e integramos, 
resultando em \(\frac{\pi}{2}\). 
 
9. **Problema 9**: Determine a segunda derivada de \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 
 a) \(6x - 6\) 
 b) \(6x - 3\) 
 c) \(6x + 2\) 
 d) \(3x^2 - 6\) 
 **Resposta correta**: a) \(6x - 6\) 
 **Explicação**: A primeira derivada é \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\) e a segunda derivada é \(f''(x) 
= 6x - 6\). 
 
10. **Problema 10**: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 + 4}\). 
 a) \(\frac{2}{5}\) 
 b) 0 
 c) 1 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação**: Dividimos todos os termos por \(x^2\), resultando em \(\lim_{x \to \infty} 
\frac{2 + \frac{3}{x}}{5 + \frac{4}{x^2}} = \frac{2}{5}\). 
 
Continuarei a gerar os próximos problemas até atingir 100. 
 
11. **Problema 11**: Encontre a solução da equação \(y'' - 3y' + 2y = 0\). 
 a) \(y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}\) 
 b) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{x}\) 
 c) \(y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{3x}\) 
 d) \(y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x}\) 
 **Resposta correta**: b) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{x}\) 
 **Explicação**: A equação característica é \(r^2 - 3r + 2 = 0\), que tem raízes \(r_1 = 2\) e 
\(r_2 = 1\). 
 
12. **Problema 12**: Calcule a integral \(\int x e^{x^2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
 b) \(-\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
 c) \(e^{x^2} + C\)