Para calcular o limite \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3xy^2}{x^2 + y^4}, \] podemos analisar o comportamento da função quando \( (x,y) \) se aproxima de \( (0,0) \). 1. Substituição direta: Se substituirmos \( x = 0 \) e \( y = 0 \), obtemos uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). 2. Caminhos diferentes: Vamos avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos. - Caminho 1: \( y = 0 \) \[ \lim_{x \to 0} \frac{3x(0)^2}{x^2 + (0)^4} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x^2} = 0. \] - Caminho 2: \( x = 0 \) \[ \lim_{y \to 0} \frac{3(0)y^2}{(0)^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{0}{y^4} = 0. \] - Caminho 3: \( y = kx \) (onde \( k \) é uma constante) \[ \lim_{x \to 0} \frac{3x(kx)^2}{x^2 + (kx)^4} = \lim_{x \to 0} \frac{3kx^3}{x^2 + k^4x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{3k x^3}{x^2(1 + k^4x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{3k x}{1 + k^4x^2} = 0. \] 3. Conclusão: Como o limite é 0 em diferentes caminhos, podemos concluir que: \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3xy^2}{x^2 + y^4} = 0. \] Portanto, o limite é 0.