Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^4 + 1} \), vamos usar a regra da cadeia. 1. Identifique a função externa e a interna: - Função externa: \( g(u) = \sqrt{u} \) - Função interna: \( u(x) = x^4 + 1 \) 2. Derivadas: - A derivada da função externa \( g(u) \) é \( g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \). - A derivada da função interna \( u(x) \) é \( u'(x) = 4x^3 \). 3. Aplicando a regra da cadeia: \[ f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^4 + 1}} \cdot 4x^3 \] 4. Simplificando: \[ f'(x) = \frac{4x^3}{2\sqrt{x^4 + 1}} = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}} \) - Correta. b) \( \frac{4x^3}{\sqrt{x^4 + 1}} \) - Incorreta. c) \( \frac{2x^2}{\sqrt{x^4 + 1}} \) - Incorreta. d) \( \frac{4x^2}{\sqrt{x^4 + 1}} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}}\).