Para encontrar o valor de \( \sin(105^\circ) \), podemos usar a fórmula de soma de ângulos. O ângulo \( 105^\circ \) pode ser escrito como \( 60^\circ + 45^\circ \). Usando a fórmula: \[ \sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b) \] onde \( a = 60^\circ \) e \( b = 45^\circ \): \[ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ) \cos(45^\circ) + \cos(60^\circ) \sin(45^\circ) \] Sabemos que: \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Substituindo os valores: \[ \sin(105^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Portanto, a alternativa correta é: A) \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)