Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (2x^3 - x^2 + 1) \, dx\)? A) 0 B) 1 C) \frac{1}{4} D) 2

Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^3 - x^2 + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(2x^3 - x^2 + 1\). 1. A antiderivada de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). 2. A antiderivada de \(-x^2\) é \(-\frac{1}{3}x^3\). 3. A antiderivada de \(1\) é \(x\). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): - \(F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - \frac{1}{3}(1)^3 + (1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 1\) - Para somar, precisamos de um denominador comum, que é 6: - \(F(1) = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} + \frac{6}{6} = \frac{3 - 2 + 6}{6} = \frac{7}{6}\) - \(F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - \frac{1}{3}(0)^3 + (0) = 0\) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (2x^3 - x^2 + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{7}{6} - 0 = \frac{7}{6} \] Como \(\frac{7}{6}\) não está entre as opções, parece que houve um erro na interpretação ou nas opções. No entanto, a integral correta é \(\frac{7}{6}\). Se você precisar de um valor aproximado ou se houver um erro nas opções, a resposta correta não está listada. Você pode criar uma nova pergunta ou verificar as opções.