Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^5 - 2x^3 + x) \, dx \), vamos integrar cada termo separadamente. 1. Integral de \( x^5 \): \[ \int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6} \] 2. Integral de \( -2x^3 \): \[ \int -2x^3 \, dx = -\frac{2x^4}{4} = -\frac{x^4}{2} \] 3. Integral de \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^5 - 2x^3 + x) \, dx = \frac{x^6}{6} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^2}{2} \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^6}{6} - \frac{1^4}{2} + \frac{1^2}{2} \right] - \left[ \frac{0^6}{6} - \frac{0^4}{2} + \frac{0^2}{2} \right] \] \[ = \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right] - 0 \] \[ = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{1}{6} - \frac{2}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \) (correta) b) \( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \) (correta) c) \( -\frac{1}{12} + 1 = \frac{11}{12} \) (incorreta) d) \( 0 \) (incorreta) As alternativas a) e b) são corretas, mas a primeira é a que se encaixa melhor na forma da pergunta. Portanto, a resposta correta é: a) \( \frac{1}{6} - \frac{2}{4} + \frac{1}{2} \).