sistema da computação AYX

Prévia do material em texto

b) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 c) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 d) \( \frac{2}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} 
 \] 
 
75. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^5 - 2x^3 + x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{6} - \frac{2}{4} + \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \) 
 c) \( -\frac{1}{12} + 1 \) 
 d) \( 0 \) 
 **Resposta:** d) \( 0 \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (x^5 - 2x^3 + x) \, dx = \frac{x^6}{6} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^2}{2} 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right] - 0 = \frac{1}{6} - 0 = 0 
 \] 
 
76. **Qual é a integral de \( \int (x^4 + 2x^2 - 3) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 - 3x + C \) 
 b) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + C \) 
 c) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 - 3 + C \) 
 d) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 - 3x + 1 + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 - 3x + C \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (x^4) \, dx = \frac{1}{5}x^5, \quad \int (2x^2) \, dx = \frac{2}{3}x^3, \quad \int (-3) \, dx = 
-3x 
 \] 
 Portanto, a integral total é \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 - 3x + C \). 
 
77. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) 10 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k \). Aqui, \( k = 5 \). Portanto, o limite é 5. 
 
78. **Qual é a integral de \( \int (3x^3 + 4x^2 - 5) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 5x + C \) 
 b) \( \frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + C \) 
 c) \( \frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 5 + C \) 
 d) \( \frac{3}{4}x^4 + 4x^3 - 5 + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 5x + C \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (3x^3) \, dx = \frac{3}{4}x^4, \quad \int (4x^2) \, dx = \frac{4}{3}x^3, \quad \int (-5) \, dx 
= -5x 
 \] 
 Portanto, a integral total é \( \frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 5x + C \). 
 
79. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2 
 \] 
 
80. **Qual é a integral de \( \int (2x^3 - 4x + 1) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2}x^4 - 2x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}x^4 - 2x + 1 + C \) 
 c) \( \frac{1}{2}x^4 - 2x^2 + 1 + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}x^4 - 2x^2 + 1x + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2}x^4 - 2x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (2x^3) \, dx = \frac{1}{2}x^4, \quad \int (-4x) \, dx = -2x^2, \quad \int (1) \, dx = x 
 \] 
 Portanto, a integral total é \( \frac{1}{2}x^4 - 2x^2 + x + C \). 
 
81. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^4 - x^2}{x - 1} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** O limite é indeterminado \( \frac{0}{0} \). Fatorando: 
 \[ 
 \frac{x^2(x^2 - 1)}{x - 1} = x^2(x + 1) 
 \] 
 Portanto, \( \lim_{x \to 1} x^2(x + 1) = 3 \).