Qual é o valor da integral ∫₀¹ (2x³ + 3x² - 4x + 1) dx? A) 0 B) 1 C) 1/2 D) 2

Para calcular a integral definida \(\int_0^1 (2x^3 + 3x^2 - 4x + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função. 1. A antiderivada de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). 2. A antiderivada de \(3x^2\) é \(\frac{3}{3}x^3 = x^3\). 3. A antiderivada de \(-4x\) é \(-2x^2\). 4. A antiderivada de \(1\) é \(x\). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 2x^2 + x \] Agora, vamos avaliar \(F(x)\) nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 + (1)^3 - 2(1)^2 + (1) = \frac{1}{2} + 1 - 2 + 1 = \frac{1}{2} \] \[ F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 + (0)^3 - 2(0)^2 + (0) = 0 \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (2x^3 + 3x^2 - 4x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] Portanto, a resposta correta é: C) \(\frac{1}{2}\)