Se um gráfico de x^2 + mx + 5 anda em um vale, o que torna m? A) 5 B) 2 C) não existe D) k > 6

Para que o gráfico da função quadrática \( f(x) = x^2 + mx + 5 \) ande em um vale, precisamos que a parábola tenha um mínimo, o que ocorre quando o coeficiente \( a \) (que é 1, neste caso) é positivo e o discriminante da equação quadrática é menor ou igual a zero. O discriminante \( \Delta \) é dado por: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Aqui, \( a = 1 \), \( b = m \) e \( c = 5 \). Portanto: \[ \Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = m^2 - 20 \] Para que a parábola tenha um mínimo (ou seja, ande em um vale), precisamos que \( \Delta \leq 0 \): \[ m^2 - 20 \leq 0 \] Isso implica que: \[ m^2 \leq 20 \] Portanto, \( m \) deve estar no intervalo: \[ - \sqrt{20} \leq m \leq \sqrt{20} \] Calculando \( \sqrt{20} \), temos aproximadamente \( 4.47 \). Assim, \( m \) pode assumir valores entre aproximadamente -4.47 e 4.47. Analisando as alternativas: A) 5 - Não está no intervalo. B) 2 - Está no intervalo. C) não existe - Não é uma opção válida, pois existem valores de \( m \) que satisfazem a condição. D) k > 6 - Não é relevante para a questão. Portanto, a alternativa correta é: B) 2.