Determine \(\tan(75^ ext{°})\). a) \(\frac{2 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}\) b) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) c) \(\sqrt{3}\) d) \(-\sqrt{3}\)

Para determinar \(\tan(75^\circ)\), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Podemos escrever \(75^\circ\) como \(45^\circ + 30^\circ\). Assim, temos: - \(\tan(45^\circ) = 1\) - \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) Substituindo na fórmula: \[ \tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ) \tan(30^\circ)} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Simplificando: Numerador: \[ 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \] Denominador: \[ 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} \] Portanto, temos: \[ \tan(75^\circ) = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \] Agora, multiplicamos o numerador e o denominador por \(\sqrt{3} + 1\) para racionalizar: \[ \tan(75^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \] Assim, a tangente de \(75^\circ\) é: \[ \tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(\frac{2 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}\) - Não é igual a \(2 + \sqrt{3}\). b) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) - Não é igual a \(2 + \sqrt{3}\). c) \(\sqrt{3}\) - Não é igual a \(2 + \sqrt{3}\). d) \(-\sqrt{3}\) - Não é igual a \(2 + \sqrt{3}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto de \(\tan(75^\circ)\). Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas.