Determine o valor de \(\sin(3\theta)\) se \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\). A) 0 B) \(\frac{3\sqrt{3}}{8}\) C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{3}{4}\)

Para determinar o valor de \(\sin(3\theta)\) dado que \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\), podemos usar a fórmula do ângulo triplo para o seno: \[ \sin(3\theta) = 3\sin(\theta) - 4\sin^3(\theta) \] Substituindo \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\): 1. Calcule \(\sin^3(\theta)\): \[ \sin^3(\theta) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \] 2. Agora substitua na fórmula: \[ \sin(3\theta) = 3\left(\frac{1}{2}\right) - 4\left(\frac{1}{8}\right) \] 3. Calcule: \[ \sin(3\theta) = \frac{3}{2} - \frac{4}{8} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] No entanto, como não temos a opção 1, vamos verificar se houve algum erro. Na verdade, precisamos considerar que \(\theta\) pode ser \(30^\circ\) ou \(150^\circ\) (já que \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) e \(\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}\)). Vamos calcular \(\sin(3\theta)\) para ambos os casos. 1. Para \(\theta = 30^\circ\): \[ 3\theta = 90^\circ \Rightarrow \sin(90^\circ) = 1 \] 2. Para \(\theta = 150^\circ\): \[ 3\theta = 450^\circ \Rightarrow \sin(450^\circ) = \sin(90^\circ) = 1 \] Portanto, em ambos os casos, \(\sin(3\theta) = 1\), que não está nas opções. Parece que houve um erro nas opções fornecidas, pois o valor correto de \(\sin(3\theta)\) é 1. Se precisar de mais ajuda, você pode criar uma nova pergunta!