Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \tan^2(x) \), podemos usar a regra da cadeia. A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \) (ou \( \frac{1}{\cos^2(x)} \)). Aplicando a regra da cadeia: 1. A função externa é \( u^2 \) onde \( u = \tan(x) \). A derivada de \( u^2 \) é \( 2u \). 2. A função interna é \( \tan(x) \). A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \). Portanto, a derivada de \( f(x) = \tan^2(x) \) é: \[ f'(x) = 2\tan(x) \cdot \sec^2(x) \] Agora, analisando as alternativas: A) \( 2\tan(x) \frac{1}{\cos^2(x)} \) - Esta é a forma correta, pois \( \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \). B) \( 2\tan^2(x) \frac{1}{\cos^2(x)} \) - Incorreta, pois não é a derivada correta. C) \( \frac{1}{\cos^2(x)} \) - Incorreta, pois não é a derivada da função. D) \( 2\frac{1}{\cos^2(x)} \) - Incorreta, pois não considera \( \tan(x) \). Portanto, a alternativa correta é: A) \( 2\tan(x) \frac{1}{\cos^2(x)} \).