Qual é a integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\)? A) \frac{1}{4} B) \frac{1}{3} C) \frac{1}{2} D) \frac{5}{12}

Para resolver a integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\), vamos calcular a integral indefinida primeiro e, em seguida, avaliar os limites de 0 a 1. 1. Calcular a integral indefinida: \[ \int (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx = \frac{2}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + x + C = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + x + C \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1}{2}x^4 - x^3 + x \right]_0^1 \] Agora, substituímos os limites: - Para \(x = 1\): \[ \frac{1}{2}(1)^4 - (1)^3 + (1) = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2} \] - Para \(x = 0\): \[ \frac{1}{2}(0)^4 - (0)^3 + (0) = 0 \] 3. Subtrair os resultados: \[ \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] Portanto, a integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\) é igual a \(\frac{1}{2}\). A alternativa correta é: C) \(\frac{1}{2}\).