Se z = 2 + 2i, qual é z^{3/2}? A) 2\sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} B) 2\sqrt{2} e^{i\frac{\\pi}{4}} C) 2 + 2i D) 1 + 3i

Para encontrar \( z^{3/2} \) onde \( z = 2 + 2i \), primeiro precisamos expressar \( z \) em forma polar. 1. Encontrar o módulo de \( z \): \[ |z| = \sqrt{(2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 2. Encontrar o argumento de \( z \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \] Assim, podemos escrever \( z \) na forma polar: \[ z = 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \] 3. Calcular \( z^{3/2} \): \[ z^{3/2} = \left(2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{3/2} = (2\sqrt{2})^{3/2} e^{i\frac{3\pi}{8}} \] Calculando \( (2\sqrt{2})^{3/2} \): \[ (2\sqrt{2})^{3/2} = 2^{3/2} \cdot (\sqrt{2})^{3} = 2^{3/2} \cdot 2^{3/2} = 2^{3} = 8 \] Portanto, temos: \[ z^{3/2} = 8 e^{i\frac{3\pi}{8}} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} \) - Não é a resposta correta. B) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \) - Não é a resposta correta. C) \( 2 + 2i \) - Não é a resposta correta. D) \( 1 + 3i \) - Não é a resposta correta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado que encontramos. Portanto, parece que não há uma resposta correta entre as opções dadas. Você pode querer verificar as opções ou o enunciado da questão.