Para encontrar a forma trigonométrica do número complexo \( z = 1 + \sqrt{3}i \), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Cálculo do módulo: \[ |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] 2. Cálculo do argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) \] Sabemos que \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \), então \( \theta = \frac{\pi}{3} \). 3. Forma trigonométrica: Agora podemos escrever a forma trigonométrica: \[ z = |z| \left( \cos(\theta) + i\sin(\theta) \right) = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) \] Analisando as alternativas: A) \( 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) \) - Correta. B) \( 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) \) - Incorreta. C) \( 2 \left( \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right) \) - Incorreta. D) \( 2 \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right) \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) \).