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Calcule o valor de \( \int_{0}^{1} (x^2 + 2x + 1) \, dx \). a) 1 b) 2 c) \frac{7}{3} d) \frac{5}{3}

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LE matematica com amor
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há 10 meses

Para calcular a integral \( \int_{0}^{1} (x^2 + 2x + 1) \, dx \), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da integral. A função \( x^2 + 2x + 1 \) pode ser reescrita como \( (x + 1)^2 \). Agora, vamos calcular a integral: \[ \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \int (x + 1)^2 \, dx \] Calculando a integral: \[ \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \] Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right) \] Calculando: \[ = \left( \frac{1}{3} + 1 + 1 \right) - 0 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} \] Portanto, o valor da integral é \( \frac{7}{3} \). A alternativa correta é: c) \( \frac{7}{3} \).

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