Qual é o valor de \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3) \, dx? a) \frac{10}{4} b) \frac{11}{4} c) \frac{12}{4} d) \frac{13}{4}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3) \, dx\), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A integral de \(2x^2\) é \(\frac{2x^3}{3}\). 3. A integral de \(3\) é \(3x\). Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^3 + 2x^2 + 3) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 3x \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 3 \cdot 1 \right] - \left[ \frac{0^4}{4} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 3 \cdot 0 \right] \] Isso simplifica para: \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 3 \] Agora, precisamos somar esses valores. Para isso, vamos encontrar um denominador comum, que é \(12\): \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \quad 3 = \frac{36}{12} \] Agora somamos: \[ \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{36}{12} = \frac{47}{12} \] Porém, parece que não temos essa opção. Vamos verificar as opções novamente. Parece que houve um erro na soma. Vamos reavaliar: \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 3 = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{36}{12} = \frac{47}{12} \] Na verdade, a soma correta é: \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 3 = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{36}{12} = \frac{47}{12} \] Parece que não temos a opção correta. Vamos verificar as opções novamente. A resposta correta é \(\frac{47}{12}\), mas como não está nas opções, vamos revisar as opções dadas: a) \(\frac{10}{4} = 2.5\) b) \(\frac{11}{4} = 2.75\) c) \(\frac{12}{4} = 3\) d) \(\frac{13}{4} = 3.25\) Nenhuma das opções corresponde ao resultado correto. Você pode ter que revisar a questão ou as opções fornecidas.