cq algoritmo da matematica

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3. **Problema 3**: Qual é a derivada de \(f(x) = e^{2x} \cdot \cos(x)\)? 
 a) \(2e^{2x} \cdot \cos(x) - e^{2x} \cdot \sin(x)\) 
 b) \(e^{2x} \cdot (2\cos(x) - \sin(x))\) 
 c) \(e^{2x} \cdot (2\sin(x) + \cos(x))\) 
 d) \(e^{2x} \cdot (2\cos(x) + \sin(x))\) 
 **Resposta**: a) \(2e^{2x} \cdot \cos(x) - e^{2x} \cdot \sin(x)\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, temos \((e^{2x})' = 2e^{2x}\) e \((\cos(x))' = -
\sin(x)\). Portanto, a derivada é \(e^{2x} \cdot \cos(x)\)' = \(2e^{2x} \cdot \cos(x) + e^{2x} 
\cdot (-\sin(x))\). 
 
4. **Problema 4**: Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3) \, dx\)? 
 a) \(\frac{10}{4}\) 
 b) \(\frac{11}{4}\) 
 c) \(\frac{12}{4}\) 
 d) \(\frac{13}{4}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{11}{4}\) 
 **Explicação**: A integral é calculada como \(\left[\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 
3x\right]_0^1\). Avaliando em \(1\), temos \(\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 3 = \frac{1}{4} + 
\frac{8}{12} + \frac{36}{12} = \frac{1}{4} + \frac{44}{12} = \frac{1}{4} + \frac{11}{3} = 
\frac{11}{4}\). 
 
5. **Problema 5**: Encontre a segunda derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 a) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 b) \(-\frac{2}{(x^2 + 1)^2}\) 
 c) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 d) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Explicação**: A primeira derivada é \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). A segunda derivada, 
usando a regra do quociente, resulta em \(f''(x) = \frac{(x^2 + 1)(2) - (2x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = 
\frac{2}{x^2 + 1} - \frac{4x^2}{(x^2 + 1)^2}\). Simplificando, obtemos \(\frac{2x}{(x^2 + 
1)^2}\). 
 
6. **Problema 6**: Calcule o valor de \(\int_0^\pi \sin^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 c) \(\frac{\pi}{3}\) 
 d) \(\frac{\pi}{6}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação**: Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), temos 
\(\int_0^\pi \sin^2(x) \, dx = \int_0^\pi \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[x - 
\frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^\pi = \frac{1}{2} \left[\pi - 0\right] = \frac{\pi}{2}\). 
 
7. **Problema 7**: O que é \(\frac{d}{dx} \left( \tan^{-1}(x) \right)\)? 
 a) \(\frac{1}{1+x^2}\) 
 b) \(\frac{x}{1+x^2}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2}\) 
 d) \(\frac{1}{\tan^2(x)}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{1+x^2}\) 
 **Explicação**: A derivada da função arco tangente é conhecida e é dada por 
\(\frac{d}{dx} \tan^{-1}(x) = \frac{1}{1+x^2}\). 
 
8. **Problema 8**: Calcule \(\int e^{3x} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\) 
 b) \(3e^{3x} + C\) 
 c) \(e^{3x} + C\) 
 d) \(\frac{1}{3} e^{x} + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\) 
 **Explicação**: A integral de \(e^{kx}\) é \(\frac{1}{k} e^{kx} + C\). Aqui, \(k = 3\), então a 
integral é \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\). 
 
9. **Problema 9**: Qual é a equação da reta tangente à curva \(y = x^2\) no ponto \(x = 1\)? 
 a) \(y = 2x - 1\) 
 b) \(y = 2x + 1\) 
 c) \(y = x + 1\) 
 d) \(y = x^2 + 1\) 
 **Resposta**: a) \(y = 2x - 1\) 
 **Explicação**: A derivada de \(y = x^2\) é \(y' = 2x\). No ponto \(x = 1\), \(y' = 2\) e \(y(1) = 
1\). A equação da reta tangente é dada por \(y - 1 = 2(x - 1)\), que simplifica para \(y = 2x - 
1\). 
 
10. **Problema 10**: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2}{5x^3 - 4}\). 
 a) \(\frac{3}{5}\) 
 b) \(\frac{2}{5}\) 
 c) \(\infty\) 
 d) \(0\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{3}{5}\) 
 **Explicação**: Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \(x\) (que é 
\(x^3\)), temos \(\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{4}{x^3}} = \frac{3}{5}\). 
 
11. **Problema 11**: Calcule \(\int_0^1 (x^2 + 4)^{1/2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3} + 2\sqrt{2}\) 
 b) \(\frac{1}{3} + 2\) 
 c) \(\frac{1}{3} + 2\sqrt{3}\) 
 d) \(2\sqrt{5}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{3} + 2\sqrt{2}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^2 + 4\), temos \(du = 2x \, dx\) e as novas 
fronteiras de \(u\) são de \(4\) a \(5\). A integral se transforma em \(\frac{1}{2}\int_4^5 
u^{1/2} \, du\), que resulta em \(\frac{1}{2} \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_4^5 = 
\frac{1}{3}(5\sqrt{5} - 4\sqrt{4})\). 
 
12. **Problema 12**: Qual é a solução geral da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} + 3y = 
6\)? 
 a) \(y = Ce^{-3x} + 2\) 
 b) \(y = Ce^{3x} + 2\) 
 c) \(y = Ce^{-3x} - 2\) 
 d) \(y = Ce^{3x} - 2\) 
 **Resposta**: a) \(y = Ce^{-3x} + 2\) 
 **Explicação**: Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução é 
dada pela fórmula \(y = Ce^{-3x} + \frac{6}{3} = Ce^{-3x} + 2\).