Para encontrar a segunda derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), vamos seguir os passos: 1. Primeira Derivada: Usamos a regra da cadeia para derivar \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \] 2. Segunda Derivada: Agora, derivamos \( f'(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{x^2 + 1} \right) \] Usamos a regra do quociente: \[ f''(x) = \frac{(x^2 + 1)(2) - (2x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \] Simplificando: \[ f''(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} \] Agora, analisando as alternativas: a) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) - Incorreta. b) \(-\frac{2}{(x^2 + 1)^2}\) - Incorreta. c) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) - Incorreta. d) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) - Incorreta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à segunda derivada que encontramos. Portanto, parece que há um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se as alternativas estão corretas ou se há mais opções disponíveis.