Para encontrar a integral indefinida de \( f(x) = \ln(x) \), podemos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é dada por: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \( u = \ln(x) \) (então \( du = \frac{1}{x} \, dx \)) - \( dv = dx \) (então \( v = x \)) Aplicando a fórmula: \[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = x \ln(x) - \int 1 \, dx \] \[ = x \ln(x) - x + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \( x \ln(x) - x + C \) - Correta. b) \( x^2 \ln(x) - x + C \) - Incorreta. c) \( x \ln(x) + C \) - Incorreta. d) \( \frac{x^2}{2} \ln(x) + C \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( x \ln(x) - x + C \).