Para resolver a integral \(\int e^{3x} \cos(2e^{3x}) \, dx\), podemos usar a técnica de substituição. Vamos definir \(u = e^{3x}\), o que implica que \(du = 3e^{3x} \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{3u}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int e^{3x} \cos(2e^{3x}) \, dx = \int \cos(2u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \cos(2u) \, du \] A integral de \(\cos(2u)\) é \(\frac{1}{2} \sin(2u)\). Portanto, temos: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \sin(2u) + C = \frac{1}{6} \sin(2e^{3x}) + C \] No entanto, essa forma não aparece nas alternativas. Vamos analisar as opções: a) \(\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) - Não é a resposta correta. b) \(\frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) - Não é a resposta correta. c) \(\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + \frac{2}{9} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) - Não é a resposta correta. d) Não existe integral elementar - Esta opção pode ser considerada, mas a integral pode ser expressa em termos de funções elementares. A resposta correta, considerando a forma que encontramos, não está entre as opções dadas. Portanto, a melhor escolha é: d) Não existe integral elementar.