Para resolver a questão, precisamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Dado o campo vetorial \( F(x, y) = (2xy, x^3) \), vamos calcular a integral de linha ao longo da curva que é o contorno do disco centrado na origem com raio 2. O Teorema de Green afirma que: \[ \oint_C F \cdot dr = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \] onde \( F = (P, Q) \). Aqui, temos: - \( P = 2xy \) - \( Q = x^3 \) Agora, calculamos as derivadas parciais: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (x^3)}{\partial x} = 3x^2 \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (2xy)}{\partial y} = 2x \] Substituindo na fórmula do Teorema de Green: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3x^2 - 2x \] Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região \( R \) que é o disco de raio 2. Usando coordenadas polares, onde \( x = r \cos(\theta) \) e \( y = r \sin(\theta) \), temos: \[ dA = r \, dr \, d\theta \] Os limites para \( r \) vão de 0 a 2 e para \( \theta \) de 0 a \( 2\pi \). Substituindo \( x \) na expressão: \[ 3x^2 - 2x = 3(r \cos(\theta))^2 - 2(r \cos(\theta)) = 3r^2 \cos^2(\theta) - 2r \cos(\theta) \] Agora, a integral dupla fica: \[ \iint_R (3r^2 \cos^2(\theta) - 2r \cos(\theta)) \, r \, dr \, d\theta \] Separando as integrais: \[ \int_0^{2\pi} \int_0^2 (3r^3 \cos^2(\theta) - 2r^2 \cos(\theta)) \, dr \, d\theta \] Calculando a integral em \( r \): 1. Para \( 3r^3 \): \[ \int_0^2 3r^3 \, dr = 3 \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = 3 \cdot \frac{16}{4} = 12 \] 2. Para \( -2r^2 \): \[ \int_0^2 -2r^2 \, dr = -2 \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^2 = -2 \cdot \frac{8}{3} = -\frac{16}{3} \] Agora, somando: \[ \int_0^{2\pi} \left( 12 \cos^2(\theta) - \frac{16}{3} \cos(\theta) \right) d\theta \] A integral de \( \cos^2(\theta) \) em um período completo é \( \pi \) e a integral de \( \cos(\theta) \) é zero. Portanto, a integral total é: \[ 12 \cdot \pi - 0 = 12\pi \] Agora, precisamos verificar as alternativas. Nenhuma das alternativas apresentadas parece corresponder a \( 12\pi \). Porém, se considerarmos que a questão pode ter um erro nas opções, a resposta correta, com base no cálculo, seria \( 12\pi \). Se você precisar de uma resposta entre as opções dadas, por favor, verifique se há algum erro nas alternativas ou se a questão foi transcrita corretamente.