Av2 - Cálculo Diferencial e Integral IV

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RESPOSTAS: 1-C / 2-A / 3-C / 4-E / 5-D 
1) O rotacional mede a "rotação" de um campo vetorial, enquanto a divergência mede a "intensidade" de fontes ou sumidouros. 
Seja F(x, y, z) = (xz, yz, x2). Determine o rotacional associado ao campo vetorial F e assinale a alternativa que indica o resultado correto. 
Alternativas: 
a) (0, x, y). 
b) (1, 1, 1). 
c) (-y, -x, 0). 
d) (z, z, 0). 
e) (x+y, z, x). 
 
2) Uma integral de superfície é usada para calcular fluxos de campos vetoriais ou somar valores escalados ao longo de superfícies no espaço 
tridimensional. Para resolver pela definição, parametrizamos a superfície e calculamos diretamente o elemento de área. 
Considere o campo escalar f(x, y, z) = x2. Calcule a integral de superfície 
 
onde S é a parte do plano z = 2 dentro do círculo x2 + y2 ≤ 4, no espaço tridimensional. 
Em seguida, assinale a alternativa que indica o resultado correto. 
Alternativas: 
a) 4π. 
b) 8π. 
c) 12π. 
d) 16π. 
e) 20π. 
 
3) O Teorema de Green relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral dupla da divergência ou do 
rotacional sobre a região delimitada por essa curva. 
Use o Teorema de Green para calcular 
 
onde C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1), orientado no sentido anti-horário. 
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto. 
Alternativas: 
a) 1. 
b) -1. 
c) 0. 
d) 2. 
e) -2. 
 
4) As integrais de superfície permitem calcular fluxos de campos vetoriais através de superfícies no espaço tridimensional. 
Calcule a integral de superfície 
 
onde F(x, y, z) = (x, y, z) e S é a superfície da esfera x2 + y2 + z2 = 1, orientada para fora, utilizando o teorema da Divergência. 
Agora, assinale a alternativa com o resultado correto: 
Alternativas: 
a) -4π. 
b) 0. 
c) π. 
d) 2π. 
e) 4π. 
 
5) A integral de linha é utilizada para calcular trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva ou o fluxo de um campo vetorial. 
Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (x2, xy) ao longo da curva C, que é o segmento de reta de (0, 0) até (1, 1). 
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto. 
Alternativas: 
a) 1/3. 
b) 1/2. 
c) 1. 
d) 2/3. 
e) 1/4.