Vamos analisar as alternativas uma a uma: a) Eles estudaram muito, mas não passaram. - Correta. A vírgula antes de "mas" está adequada, pois "mas" é uma conjunção que liga duas orações. b) Eles estudaram muito mas, não passaram. - Incorreta. A vírgula está mal colocada, pois não deve haver vírgula antes de "mas" quando não há uma pausa necessária. c) Eles estudaram muito mas não passaram. - Incorreta. Embora a frase faça sentido, a vírgula antes de "mas" é necessária para separar as orações. d) Eles estudaram, muito mas não passaram. - Incorreta. A vírgula após "estudaram" não é necessária e quebra a fluidez da frase. e) Eles estudaram, muito, mas não passaram. - Incorreta. A vírgula após "estudaram" e a vírgula após "muito" são desnecessárias. Portanto, a alternativa correta é: a) Eles estudaram muito, mas não passaram.