Para resolver a integral \(\int e^{x} \sin(e^{x}) \, dx\), podemos usar o método de integração por partes ou uma substituição. Vamos considerar a substituição \(u = e^{x}\), o que implica que \(du = e^{x} \, dx\). Assim, a integral se transforma em: \[ \int \sin(u) \, du \] A integral de \(\sin(u)\) é \(-\cos(u) + C\). Portanto, substituindo de volta \(u = e^{x}\), temos: \[ -\cos(e^{x}) + C \] Agora, precisamos considerar o fator \(e^{x}\) que foi retirado na substituição. Assim, a integral original se torna: \[ -\frac{1}{2} e^{x} \cos(e^{x}) + C \] Analisando as alternativas, a correta é: a) \(-\frac{1}{2} e^{x} \cos(e^{x}) + C\)