Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(8x)}{x}\). a) 0 b) 1 c) 8 d) 16

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(8x)}{x}\), podemos usar a propriedade do limite fundamental que diz que \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1\). Neste caso, podemos fazer uma substituição. Se \(u = 8x\), então quando \(x \to 0\), \(u \to 0\) também. Assim, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(8x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \cdot 8 = 8 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 8 \cdot 1 = 8. \] Portanto, o valor do limite é \(8\). A alternativa correta é: c) 8.