Qual é o valor de \(\int_1^2 (x^4 + 2x^3) \, dx\)? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

Para calcular a integral \(\int_1^2 (x^4 + 2x^3) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(x^4 + 2x^3\). 1. A antiderivada de \(x^4\) é \(\frac{x^5}{5}\). 2. A antiderivada de \(2x^3\) é \(\frac{2x^4}{4} = \frac{x^4}{2}\). Portanto, a antiderivada de \(x^4 + 2x^3\) é: \[ F(x) = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2} \] Agora, vamos calcular \(F(2)\) e \(F(1)\): \[ F(2) = \frac{2^5}{5} + \frac{2^4}{2} = \frac{32}{5} + 8 = \frac{32}{5} + \frac{40}{5} = \frac{72}{5} \] \[ F(1) = \frac{1^5}{5} + \frac{1^4}{2} = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{1}{5} + \frac{2.5}{5} = \frac{3.5}{5} = \frac{7}{10} \] Agora, calculamos a integral definida: \[ \int_1^2 (x^4 + 2x^3) \, dx = F(2) - F(1) = \frac{72}{5} - \frac{7}{10} \] Para subtrair, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre 5 e 10 é 10: \[ \frac{72}{5} = \frac{144}{10} \] Agora, subtraímos: \[ \frac{144}{10} - \frac{7}{10} = \frac{137}{10} = 13.7 \] Como nenhuma das alternativas corresponde a esse resultado, parece que houve um erro na interpretação ou no cálculo. Vamos revisar as opções: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 Nenhuma das opções está correta com base no cálculo realizado. Você pode querer revisar a questão ou as opções fornecidas.