Qual é o valor de \( \int_1^2 (x^3 + 4) \, dx \)? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12

Para calcular o valor da integral \( \int_1^2 (x^3 + 4) \, dx \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada: A antiderivada de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \) e a antiderivada de \( 4 \) é \( 4x \). Portanto, a antiderivada de \( x^3 + 4 \) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + 4x \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, precisamos avaliar \( F(x) \) nos limites de 1 a 2: \[ F(2) = \frac{2^4}{4} + 4 \cdot 2 = \frac{16}{4} + 8 = 4 + 8 = 12 \] \[ F(1) = \frac{1^4}{4} + 4 \cdot 1 = \frac{1}{4} + 4 = \frac{1}{4} + \frac{16}{4} = \frac{17}{4} \] 3. Subtrair os valores: Agora, subtraímos \( F(1) \) de \( F(2) \): \[ \int_1^2 (x^3 + 4) \, dx = F(2) - F(1) = 12 - \frac{17}{4} \] Para fazer essa subtração, vamos expressar 12 como uma fração com denominador 4: \[ 12 = \frac{48}{4} \] Então: \[ \int_1^2 (x^3 + 4) \, dx = \frac{48}{4} - \frac{17}{4} = \frac{31}{4} \] Como \( \frac{31}{4} \) não está entre as opções, vamos verificar se houve algum erro. Na verdade, ao revisar, percebo que a integral foi calculada corretamente, mas as opções dadas não incluem o resultado correto. Portanto, a resposta correta não está entre as alternativas apresentadas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!