Problema 100: O que é \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos^2(x) - 1} \)? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos^2(x) - 1} \), vamos analisar a expressão. Sabemos que \( \cos^2(x) - 1 = -\sin^2(x) \) (usando a identidade \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \)). Assim, podemos reescrever o limite como: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos^2(x) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{-\sin^2(x)} \] Agora, podemos usar a aproximação \( \sin(x) \approx x \) quando \( x \) se aproxima de 0. Portanto, \( \sin^2(x) \approx x^2 \). Substituindo isso na expressão, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{-x^2} = \lim_{x \to 0} -1 = -1 \] No entanto, como as opções dadas não incluem -1, vamos verificar se houve algum erro na análise. Na verdade, ao reescrever o limite, temos que: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{-\sin^2(x)} = \lim_{x \to 0} -\frac{x^2}{\sin^2(x)} \] E sabemos que \( \frac{x}{\sin(x)} \to 1 \) quando \( x \to 0 \), então \( \left(\frac{x}{\sin(x)}\right)^2 \to 1 \). Portanto, o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} -\frac{x^2}{\sin^2(x)} = -1 \] Como não temos essa opção, parece que a questão pode ter um erro nas alternativas. Entretanto, se considerarmos o valor absoluto, a resposta correta em termos de módulo seria 1, mas como não está nas opções, a resposta correta não está listada. Se você precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!