Se um grafo tem 10 vértices e 15 arestas, quantos ciclos de comprimento 3 pode ter esse grafo? a) 10 b) 15 c) 20 d) 30

Para determinar quantos ciclos de comprimento 3 (triângulos) podem existir em um grafo com 10 vértices e 15 arestas, podemos usar a seguinte abordagem: 1. Ciclos de Comprimento 3: Um ciclo de comprimento 3 é formado por 3 vértices que estão todos conectados entre si. 2. Cálculo: O número máximo de triângulos que um grafo pode ter é limitado pelo número de arestas e pela combinação de vértices. Para um grafo com \( n \) vértices, o número máximo de triângulos é dado pela fórmula: \[ \text{Número de triângulos} \leq \frac{m^2}{n} \] onde \( m \) é o número de arestas e \( n \) é o número de vértices. 3. Aplicando a Fórmula: - \( m = 15 \) (arestas) - \( n = 10 \) (vértices) Substituindo na fórmula: \[ \text{Número de triângulos} \leq \frac{15^2}{10} = \frac{225}{10} = 22,5 \] Como não podemos ter um número fracionário de triângulos, isso significa que o número máximo de triângulos é 22. 4. Alternativas: Agora, analisando as alternativas: a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 Como o número máximo de triângulos que pode ser formado é 22, a alternativa mais próxima e viável é a c) 20. Portanto, a resposta correta é c) 20.