Determine os valores de C1 e C2 de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciais dadas. a) y (x) = C1e^x + C2e^−x + 4 sen x; y (0) = 1, y′ (0) = −1. SOLUÇÃO: Temos que y′ (x) = C1e^x − C2e^−x + 4 cos x e que y (0) = C1 + C2 e y′ (0) = C1 − C2 + 4. Assim, { y (0) = 1 y′ (0) = −1 ⇔ { C1 + C2 = 1 C1 − C2 + 4 = −1 ⇔ { C1 + C2 = 1 C1 − C2 = −5 ⇔ C1 = −2 C2 = 3 e, portanto, y (x) = −2e^x + 3e^−x + 4 sen x.

Question

Determine os valores de C1 e C2 de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciais dadas. a) y (x) = C1e^x + C2e^−x + 4 sen x; y (0) = 1...

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Vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.

1. Temos as condições iniciais:
   - $ y(0) = C_1 + C_2 = 1 $  (Equação 1)
   - $ y'(0) = C_1 - C_2 + 4 = -1 $  (Equação 2)

2. Da Equação 1, podemos expressar $ C_2 $ em termos de $ C_1 $:
   $$
   C_2 = 1 - C_1
   $$

3. Substituindo $ C_2 $ na Equação 2:
   $$
   C_1 - (1 - C_1) + 4 = -1
   $$
   Simplificando:
   $$
   C_1 - 1 + C_1 + 4 = -1
   $$
   $$
   2C_1 + 3 = -1
   $$
   $$
   2C_1 = -4
   $$
   $$
   C_1 = -2
   $$

4. Agora, substituímos $ C_1 $ de volta na Equação 1 para encontrar $ C_2 $:
   $$
   -2 + C_2 = 1
   $$
   $$
   C_2 = 1 + 2 = 3
   $$

Portanto, os valores são:
- $ C_1 = -2 $
- $ C_2 = 3 $

Assim, a solução final é:
$$
y(x) = -2e^x + 3e^{-x} + 4 \sen x
$$

Equações Diferenciais

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