Para resolver a equação diferencial dada, vamos seguir os passos que você já começou: 1. A equação é \( 2x (3x + 1) \frac{dy}{dx} + 1 - 2x = 0 \). 2. Reorganizando, temos \( 2x (3x + 1) \frac{dy}{dx} = 2x - 1 \). 3. Separando as variáveis, obtemos \( dy = \frac{2x - 1}{2x (3x + 1)} dx \). Agora, vamos integrar ambos os lados: \[ \int dy = \int \frac{2x - 1}{2x (3x + 1)} dx \] Para resolver a integral do lado direito, podemos usar a decomposição em frações parciais. A integral pode ser dividida em duas partes: \[ \frac{2x - 1}{2x(3x + 1)} = \frac{A}{2x} + \frac{B}{3x + 1} \] Resolvendo para \(A\) e \(B\), encontramos os valores que satisfazem a equação. Após a integração e simplificação, você chega à solução geral da equação diferencial. A solução que você mencionou parece estar correta, mas a forma final deve ser verificada. A solução geral é: \[ y = \frac{1}{6} \ln |3x + 1|^5 - \frac{3}{2} \ln |x| + C \] onde \(C\) é a constante de integração. Se precisar de mais detalhes sobre a integração ou a decomposição em frações parciais, é só avisar!