Determine a solução geral das equações diferenciais lineares: a) dy/dx + y cos x = 1/2 sen (2x).

Para resolver a equação diferencial linear dada: \[ \frac{dy}{dx} + y \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) \] podemos usar o método do fator integrante. A equação está na forma padrão: \[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \] onde \( P(x) = \cos x \) e \( Q(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \). 1. Encontrar o fator integrante: O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por: \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \cos x \, dx} = e^{\sin x} \] 2. Multiplicar a equação pela fator integrante: Multiplicamos toda a equação por \( e^{\sin x} \): \[ e^{\sin x} \frac{dy}{dx} + e^{\sin x} y \cos x = \frac{1}{2} e^{\sin x} \sin(2x) \] 3. Reescrever a equação: A equação à esquerda pode ser reescrita como a derivada do produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{\sin x} y) = \frac{1}{2} e^{\sin x} \sin(2x) \] 4. Integrar ambos os lados: Agora, integramos ambos os lados: \[ e^{\sin x} y = \int \frac{1}{2} e^{\sin x} \sin(2x) \, dx + C \] A integral à direita pode ser resolvida usando integração por partes ou tabelas de integrais. 5. Resolver a integral: A integral \(\int e^{\sin x} \sin(2x) \, dx\) pode ser complexa, mas o resultado final será uma função que, quando multiplicada por \( e^{-\sin x} \), dará a solução geral. 6. Isolar \( y \): Finalmente, isolamos \( y \): \[ y = e^{-\sin x} \left( \int \frac{1}{2} e^{\sin x} \sin(2x) \, dx + C \right) \] Essa é a forma geral da solução da equação diferencial. Para um resultado mais específico, você pode calcular a integral mencionada.