12. Resolva as seguintes equações de Bernoulli: a) xy′ + y = 1/y^2.

Para resolver a equação de Bernoulli dada, \( xy' + y = \frac{1}{y^2} \), vamos seguir os passos: 1. Reescrevendo a equação: A equação pode ser escrita como: \[ y' + \frac{1}{x}y = \frac{1}{xy^2} \] 2. Identificando a forma de Bernoulli: A equação é da forma \( y' + P(x)y = Q(x)y^n \), onde \( n = -2 \), \( P(x) = \frac{1}{x} \) e \( Q(x) = \frac{1}{x} \). 3. Mudança de variável: Para resolver, fazemos a substituição \( v = y^{-1} \) (ou seja, \( y = \frac{1}{v} \)). Assim, temos: \[ y' = -\frac{1}{v^2}v' \] 4. Substituindo na equação: \[ -\frac{1}{v^2}v' + \frac{1}{x}\frac{1}{v} = \frac{1}{xv^2} \] Multiplicando toda a equação por \( -v^2 \): \[ v' - \frac{v}{x} = -\frac{1}{x} \] 5. Resolvendo a equação linear: Agora temos uma equação linear em \( v \): \[ v' - \frac{1}{x}v = -\frac{1}{x} \] 6. Encontrando o fator integrante: O fator integrante é \( e^{\int -\frac{1}{x}dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|} \). 7. Multiplicando pela fator integrante: \[ \frac{1}{|x|}v' - \frac{1}{x^2}v = -\frac{1}{x^2} \] 8. Integrando ambos os lados: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{v}{|x|}\right) = -\frac{1}{x^2} \] Integrando: \[ \frac{v}{|x|} = \frac{1}{x} + C \] onde \( C \) é uma constante de integração. 9. Voltando à variável original: \[ v = |x|\left(\frac{1}{x} + C\right) = 1 + C|x| \] Portanto, \( y = \frac{1}{v} = \frac{1}{1 + C|x|} \). 10. Solução final: A solução da equação de Bernoulli é: \[ y = \frac{1}{1 + C|x|} \] E aí está a solução! Se precisar de mais ajuda, é só avisar!