Para resolver essa questão, precisamos analisar as condições dadas para as duas equações. 1. Primeira equação: \(2x^2 - 3x + k = 0\) - As raízes devem ser reais, não nulas e de sinais contrários. Para que as raízes sejam reais, o discriminante deve ser maior ou igual a zero: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot k \geq 0 \] \[ 9 - 8k \geq 0 \implies k \leq \frac{9}{8} \] - Para que as raízes sejam de sinais contrários, o produto das raízes (que é \(\frac{k}{2}\)) deve ser negativo, ou seja, \(k < 0\). 2. Segunda equação: \(2x^2 + kx + 1 = 0\) - Para que não tenha raízes reais, o discriminante deve ser menor que zero: \[ \Delta = k^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 < 0 \] \[ k^2 - 8 < 0 \implies k^2 < 8 \implies -\sqrt{8} < k < \sqrt{8} \] \[ -2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2} \] Agora, juntando as condições: - Para a primeira equação: \(k < 0\) e \(k \leq \frac{9}{8}\). - Para a segunda equação: \(k\) deve estar entre \(-2\sqrt{2}\) e \(2\sqrt{2}\). Como \(-2\sqrt{2} \approx -2.83\), temos que \(k\) deve ser negativo e menor que \(-2\sqrt{2}\) e também menor que \(0\). Os valores inteiros que satisfazem \(k < 0\) e \(k > -2.83\) são: \(-1\) e \(-2\). Portanto, os valores inteiros que \(k\) pode assumir são 2. A alternativa correta é: d) 2.