Problema 20. Dado que p, 2p+ 1 e 4p2 + 1 são números primos, encontre p.

Para resolver o problema, vamos analisar as condições dadas: 1. \( p \) é um número primo. 2. \( 2p + 1 \) também deve ser primo. 3. \( 4p^2 + 1 \) também deve ser primo. Vamos testar alguns valores de \( p \): - Se \( p = 2 \): - \( 2p + 1 = 2(2) + 1 = 5 \) (primo) - \( 4p^2 + 1 = 4(2^2) + 1 = 16 + 1 = 17 \) (primo) Portanto, \( p = 2 \) satisfaz todas as condições. - Se \( p = 3 \): - \( 2p + 1 = 2(3) + 1 = 7 \) (primo) - \( 4p^2 + 1 = 4(3^2) + 1 = 36 + 1 = 37 \) (primo) Portanto, \( p = 3 \) também satisfaz todas as condições. - Se \( p = 5 \): - \( 2p + 1 = 2(5) + 1 = 11 \) (primo) - \( 4p^2 + 1 = 4(5^2) + 1 = 100 + 1 = 101 \) (primo) Portanto, \( p = 5 \) também satisfaz todas as condições. Continuando a testar números primos maiores, você pode verificar que não há outros valores que satisfaçam as três condições simultaneamente. Assim, os valores de \( p \) que satisfazem a condição são \( p = 2, 3 \) e \( 5 \).